Enunciados y soluciones del Certamen Intercolegial

Antes que nada queremos felicitar a todos los chicos que se animaron y participaron del Certamen Intercolegial de OMA este año. Los resultados del Certamen estarán en aproximadamente 2 semanas. Los chicos que aprueben rendirán la próxima instancia (zonal) el día jueves 1 de julio.

Compartimos con todos los problemas tomados el jueves pasado. Los que quieran compartir sus soluciones y/o ver los resultados pueden hacerlo aquí.

Primer Nivel

1. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 formar un número natural de seis cifras abcdef tal que el número de dos cifras ab sea múltiplo de 2, el números de tres cifras abc sea múltiplo de 3, el número de cuatro cifras abcd sea múltiplo de 4, el número de 5 cifras abcde sea múltiplo de 5, y el número de seis cifras abcdef sea múltiplo de 6.

2. Se tienen 5 objetos de distintos pesos. Se han pesado en una balanza todas las 10 combinaciones de dos de estos objetos. Se sabe que las tres combinaciones más livianas pesas 39, 43 y 44 kilos, y que las dos combinaciones más pesadas pesar 56 y 59 kilos. Calcular los pesos de cada uno de los cinco objetos.

3. Se considera un cuadrado ABCD de lados AB, BC, CD y DA, y un punto P exterior al cuadrado tal que el triángulo ABP es isósceles con AP=AB y el ángulo ADP=10^o. Calcular la medida del ángulo ABP.

Segundo Nivel

1. En un rectángulo de 1 x 101, dividido en casillas cuadradas de 1x1. Alex escribió un número entero en cada casilla, de manera tal que la suma de los tres números escritos en tres casillas consecutivas era siempre igual a 9. Luego borró todos los números escritos, excepto el de la tercera casilla y el de la décima casilla, contadas de izquierda a derecha: un 3 y un 10 respectivamente. Hallar el número que había escrito Alex en la última casilla de la derecha. (la casilla número 101).

2. Nico hizo la lista de todos los números de 7 dígitos distintos que se forman con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Los números de la lista de Nico están ordenados de menor a mayor. Calcular que posición de la lista ocupa el número 3654721.

3. Sean A, B y C tres puntos en una recta r, con B entre A y C, y sea D un punto exterior a r. Se traza la recta paralela a r por el punto D que denominamos s. Se traza la bisectriz del ángulo ABD que corta a la recta s en P y se traza la bisectriz del ángulo CBD que corta a la recta s en Q. Si BP=12, BQ=5, calcular BD.

Tercer Nivel

1. De una progresión aritmética se sabe que el primer término es 13, y que la suma de los 12 primeros términos es igual a cuatro veces la suma de los primeros 5 términos. Hallar la difencia. (llamado diferencia o razón de la progresión).

2. Un kiosco vende chocolates a 4 pesos cada uno, caramelos a 2 por 1 peso y bombones a 1 peso cada uno. Marta gastó 88 pesos en 44 golosinas que repartió en partes iguales (de cada variedad) entre sus cuatro hijos, sin que le sobre nada. ¿Cuántas golosinas y de qué clases le correspondieron a cada uno?

3. Sea ABC un triángulo equilátero y sea M el punto medio de BC. Sean K en AM y L en AC tales que KL es perpendicular a AC, KM=8 y KL=5. Calcular el área del cuadrilátero KLCM.