Problemas del Certamen Zonal

Les propongo a todos pensar los tres niveles que se tomaron el martes pasado en el Certamen Zonal. Si quieren compartir su solución o hacer alguna pregunta pueden hacerlo, como ya saben, a olimpiadashuergo@gmail.com

Primer Nivel (primero y segundo año)

1. Fernando sumó cinco números naturales consecutivos y el resultado que obtuvo es un número de cinco cifras con el dígito de las unidades igual al de las unidades de mil 1x84x, donde x representa un dígito. Determinar los cinco números que sumó Fernando. Dar todas las posibilidades.
2. Un tren viaja de A a D, con dos paradas intermedias, primero B y después C. Cuando se detiene en B, la cantidad de pasajeros que sube es igual a 3/4 de los pasajeros que viajaron de A hasta B, y bajan 39 pasajeros. En la estación C, la cantidad de pasajeros que sube es igual a 3/4 de los pasajeros que viajaron de B hasta C, y bajan 39 pasajeros. La cantidad de pasajeros que llegaron a D es igual a la cantidad de pasajeros que salieron de A. Hallar cuántos pasajeros salieron de A.
3. Sea ABCD un cuadrilátero de lados AB, BC, CD y DA tal que el ángulo ABC=90 grados, el ángulo ACD=90 grados y BC = CD. Las diagonales AC y BD se cortan en O. Si el ángulo AOD=110 grados, calcular la medida del ángulo BAC.

Segundo Nivel (tercer y cuarto año)

1. En una reunión de 152 científicos, algunos son matemáticos y los demás son físicos. El promedio de las edades de todos los científicos es de 41 años. El promedio de las edades de los matemáticos es 35 años, y el promedio de las edades de los físicos es de 51 años. Determinar cuántos científicos de esta reunión son matemáticos.
2. En la expresión * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 Nico reemplazó cada * por un signo + o un signo - de modo que quedaron 5 signos de cada clase, y realizó la operación indicada. El resultado es un número positivo de dos dígitos que es múltiplo de 7. Determinar qué número obutvo Nico e indicar una posible asignación de los signos + y - con la que se obtiene ese número.
3. Sea ABCD un cuadrado de lado AB=BC=CD=DA=6. Sean P en el lado BC y Q en el lado CD tales que las rectas AP y AQ dividen al cuadrado en tres figuras de áreas iguales. Calcular el área del triángulo APQ.

Tercer Nivel (quinto año)

1. Germán escribe una lista de números naturales. El primer número es el 1; luego escribe los múltiplos de 2, desde 2 hasta 2^2; a continuación escribe los múltiplos de 3, desde 3 hasta 3^2; luego los múltiplos de 4, desde 4 hasta 4^2, y así siguiendo hasta escribir por primera vez, el 2009. La lista empieza de la siguiente manera: 1, 2, 4, 3, 6, 9, 4, 8, 12, 16, 5, 10, .... Determinar cuántos números tiene la lista de Germán. (Nota: ^ indica potencia, es decir 2^2 es 2 elevado al cuadrado)
   
2. Los participantes de una olimpíada compartieron un almuerzo de camaradería, con precio fijo. Al terminar, el mozo llevó la cuenta, que era de $1680. Dividieron entre el número de participantes, pero el dinero no alcanzó porque 4 personas ya se habían retirado. Así que cada uno de los presentes debió agregar $1. Calcular cuántos participantes hubo en el almuerzo.
3. Se tienen dos figuras superpuestas: el cuadrado ABCD de lados AB=BC=CD=DA=6 y el triángulo isósceles ABE de base AB, con AE = BE. Se sabe que el área de superposición es igual a 3/4 del área del cuadrado. Calcular el área de la porción del triángulo que no se superpone con el cuadrado.

A la espera de soluciones!!! =)